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Calcul du PGCD et du PPCM en ligne

Séparez les nombres par des virgules, des espaces ou des points-virgules, sans espace à l'intérieur d'un nombre. Jusqu'à 60 chiffres par nombre.

PGCD (plus grand commun diviseur)— PPCM (plus petit commun multiple)—

Exemples

Le calcul se fait dans votre navigateur, en nombres entiers exacts : rien n'est envoyé.

Calculer le PGCD et le PPCM en montrant les étapes

Ce calcul de PGCD donne le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple (PPCM) de 2 à 10 nombres entiers. Il ne se contente pas du résultat : il écrit l'algorithme d'Euclide ligne par ligne, la décomposition en facteurs premiers avec les facteurs communs surlignés et, si vous le demandez, la méthode des soustractions, la liste des diviseurs et l'identité de Bézout. Idéal pour vérifier un exercice de collège ou de lycée.

Mode d'emploi

  1. Dans « Nombres entiers (2 à 10) », tapez vos nombres séparés par des virgules, des espaces ou des points-virgules, par exemple 84, 36.
  2. Les cases « PGCD (plus grand commun diviseur) » et « PPCM (plus petit commun multiple) » se remplissent aussitôt. Une ligne indique si les nombres sont premiers entre eux.
  3. Cochez « Méthode des soustractions », « Liste des diviseurs » ou « Identité de Bézout » pour ajouter ces méthodes aux « Étapes du calcul ». « Décomposition en facteurs premiers » est cochée par défaut.
  4. « Copier le résultat » copie le résultat et toutes les étapes.

Trois méthodes, un même résultat

Le plus grand commun diviseur de deux nombres est le plus grand entier qui les divise tous les deux. Le plus petit commun multiple est le plus petit entier non nul qui est un multiple des deux. Prenons 84 et 36.

Liste des diviseurs. Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Parmi eux, ceux qui divisent aussi 84 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 : le PGCD vaut 12.

Algorithme d'Euclide. On divise le plus grand par le plus petit : 84 = 2 × 36 + 12. Puis on divise 36 par le reste : 36 = 3 × 12 + 0. Le reste est nul, le dernier diviseur, 12, est le PGCD. C'est la méthode la plus rapide, même avec 60 chiffres.

Facteurs premiers. 84 = 2² × 3 × 7 et 36 = 2² × 3². Le PGCD prend les facteurs communs avec leur plus petit exposant : 2² × 3 = 12. Le PPCM prend tous les facteurs avec leur plus grand exposant : 2² × 3² × 7 = 252.

Pour deux nombres, on a toujours PGCD × PPCM = a × b : ici 12 × 252 = 3 024 = 84 × 36. C'est ce que l'outil affiche dans la ligne « Vérification ».

À quoi servent le PGCD et le PPCM ?

  • Simplifier une fraction : on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. 84/36 devient 7/3 en divisant par 12.
  • Mettre au même dénominateur : le PPCM des dénominateurs est le plus petit dénominateur commun. Pour 1/12 + 1/18, PPCM(12, 18) = 36, donc 3/36 + 2/36 = 5/36.
  • Problèmes de partage : un fleuriste a 84 roses et 36 tulipes et veut faire le plus de bouquets identiques sans rien laisser. Il en fera 12, chacun avec 7 roses et 3 tulipes.

Avec l'option « Identité de Bézout », l'outil trouve aussi deux entiers u et v tels que 84 × u + 36 × v = 12, ici u = 1 et v = −2, par l'algorithme d'Euclide étendu présenté sous forme de tableau.

Questions fréquentes

Comment calculer le PGCD de trois nombres ou plus ?

On calcule le PGCD des deux premiers, puis le PGCD de ce résultat et du troisième, et ainsi de suite. Pour 12, 18 et 30 : PGCD(12, 18) = 6, puis PGCD(6, 30) = 6. Le PPCM se calcule de la même façon : PPCM(12, 18) = 36, puis PPCM(36, 30) = 180.

Que veut dire « premiers entre eux » ?

Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1 : leur seul diviseur commun est 1. C'est le cas de 35 et 64, alors qu'aucun des deux n'est un nombre premier. Leur PPCM est alors leur produit, 2 240.

Que se passe-t-il avec 0 ou un nombre négatif ?

Tout entier divise 0, donc le PGCD de 0 et de 15 vaut 15, et le PPCM vaut 0. Les signes moins sont ignorés, car le PGCD et le PPCM se calculent sur les valeurs absolues.