Équation du second degré : calcul du discriminant

Résoudre une équation du second degré, étape par étape

Cet outil résout une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0. Il calcule le discriminant (le « delta »), donne les solutions exactes sous forme de fractions et de racines simplifiées, puis leurs valeurs approchées. Il affiche aussi la forme canonique, le sommet de la parabole, la forme factorisée, la somme et le produit des racines, et trace la courbe.

Chaque ligne du calcul est écrite comme sur une copie de lycée : un élève de première peut vérifier son exercice, un parent peut suivre la méthode sans tout se rappeler.

Mode d'emploi

1. Dans « Coefficients a, b, c », tapez les trois nombres : entiers, décimaux ou fractions comme 1/2. Une case vide vaut 0.
2. Ou choisissez « Équation en clair » et tapez l'équation telle quelle, par exemple 3x^2 = 2x + 1. L'outil passe tout à gauche et obtient 3x² − 2x − 1 = 0.
3. Les solutions s'affichent pendant la saisie. Lisez les « Étapes de la résolution » en dessous, cochez « Afficher le tableau de signes » si besoin.
4. « Copier le résultat » copie le tout en texte. La dernière saisie reste gardée sur votre appareil.

Le discriminant et ses trois cas

Le calcul du discriminant est la première étape : Δ = b² − 4ac. Son signe décide de tout.

• Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes, x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a).
• Δ = 0 : une solution double, x₀ = −b / (2a).
• Δ < 0 : pas de solution réelle. En terminale, on écrit alors deux solutions complexes conjuguées, (−b ± i√−Δ) / (2a). Pour x² + x + 1 = 0, Δ = −3 et l'outil affiche −1/2 ± (√3/2)i.

Un exemple complet

Prenons 2x² + 3x − 5 = 0. On lit a = 2, b = 3, c = −5.

1. Δ = 3² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49.
2. Δ > 0 et √49 = 7, donc x₁ = (−3 − 7) / 4 = −10/4 = −5/2 et x₂ = (−3 + 7) / 4 = 1.
3. Vérification : 2 × 1² + 3 × 1 − 5 = 0.

Quand Δ n'est pas un carré parfait, l'outil garde la racine. Pour x² − 3x + 1 = 0, Δ = 5 et les solutions sont (3 − √5)/2 ≈ 0,382 et (3 + √5)/2 ≈ 2,618. Pour x² − 12 = 0, Δ = 48 et √48 = √(16 × 3) = 4√3, d'où x = ±2√3.

Forme canonique et sommet

Tout trinôme s'écrit a(x − α)² + β, avec α = −b / (2a) et β = −Δ / (4a). Le point S(α ; β) est le sommet de la parabole. Pour 2x² − 4x + 1, α = 1 et β = −1 : la forme canonique est 2(x − 1)² − 1, et le minimum vaut −1, atteint en x = 1. Pour notre exemple, 2x² + 3x − 5 = 2(x + 3/4)² − 49/8.

Forme factorisée, somme et produit

Si Δ > 0, on factorise : a(x − x₁)(x − x₂). Ici, 2x² + 3x − 5 = 2(x − 1)(x + 5/2). Si Δ = 0, on obtient a(x − x₀)². Si Δ < 0, le trinôme ne se factorise pas avec des nombres réels.

Les racines vérifient toujours x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Pour 2x² + 3x − 5 : 1 + (−5/2) = −3/2 et 1 × (−5/2) = −5/2. C'est un bon moyen de contrôler un résultat, ou de trouver une racine évidente : avec x² − 5x + 6, deux nombres de somme 5 et de produit 6, ce sont 2 et 3.

Le lien avec la parabole

Les solutions de ax² + bx + c = 0 sont les abscisses des points où la parabole y = ax² + bx + c coupe l'axe des abscisses. Le graphique de l'outil le montre : deux points rouges si Δ > 0, un point de contact si Δ = 0, aucun si Δ < 0. La parabole est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. Le tableau de signes en découle : f(x) a le signe de a à l'extérieur des racines, le signe contraire entre elles.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si a = 0 ?

L'équation devient bx + c = 0, du premier degré. L'outil la résout quand même : 2x + 4 = 0 donne x = −2. Si b = 0 aussi, il n'y a aucune solution quand c ≠ 0, et une infinité quand c = 0.

Puis-je saisir des fractions ou des décimaux ?

Oui. 0,5 est lu comme 1/2, et les calculs restent exacts. Avec (1/2)x² − x − 4 = 0, Δ = 9 et les solutions sont −2 et 4.

Pourquoi l'outil écrit-il 2√3 et pas 3,4641 ?

Une valeur exacte est attendue en classe. L'outil sort le plus grand carré de la racine, puis donne aussi la valeur approchée à 4 décimales.

Comment taper l'équation au clavier ?

Écrivez x^2 ou x², le signe * ou rien pour multiplier : 2x^2 - 3x + 1 = 0. Les termes peuvent être des deux côtés du signe =, et les parenthèses sont acceptées.